Hallo zusammen,
in Namen heißt es meines Erachtens ganz sicher "bayerisch", zum Beispiel ist BMW die Abkürzung für "Bayerische Motorenwerke", oder auch "Der Bayerische Rundfunk" oder die Zeitung mit dem Titel "Nordbayerische Nachrichten". Nicht so sicher bin ich mir bei dem Adjektiv "bayerisch" oder "bayrisch" in der Bedeutung von "zu Bayern gehörig", "für Bayern typisch": Ich glaube, man kann beides sagen: "Bayerische Volksmusik" oder "bayrische Volksmusik", "er trug eine bayerische Tracht." - "er trug eine bayrische Tracht."
Interessanterweise gibt es noch eine dritte Schreibweise: "bairisch". In der Sprachwissenschaft wird der zu Bayern gehörende Dialekt so bezeichnet: "Es ist eine bairische Ausdrucksweise."